线代期末考试题及答案

昨天改完最后一份卷子，线代发现一个挺扎心的期末事实：班里挂科的那几个，不是考试不会算，而是题及把行列式性质记混了。比如有道题让算一个上三角矩阵的答案行列式，明明直接对角线相乘就完事，线代偏有人先做初等变换，期末结果符号搞反，考试白丢10分。题及

先看第一道大题，答案求矩阵A的线代逆，A是期末3阶方阵：
[1 2 0]
[0 1 3]
[1 0 1]
这题考的是伴随矩阵法还是初等变换法？都行，但初等变换更快。考试我监考时转了一圈，题及发现用伴随矩阵法的答案同学，算9个代数余子式就花了15分钟，还有人把A₁₂的符号记成负的——实际上应该是负的，但有人记成(-1)的1+2次方等于1，那就错了。正确答案是：
(A|E) → 行变换 → (E|A^-1)，最后得到
[-1/4 1/2 3/4]
[ 3/4 -1/4 -3/4]
[ 1/4 1/2 -1/4]
验算一下，A乘这个结果确实等于单位阵。这道题平均得分率只有61%，问题出在第三行第二列，很多人算成1/2，其实是1/2没错，但第二行第三列应该是-3/4，有人写成3/4。

第二道大题是解线性方程组：
x₁ + 2x₂ - x₃ = 1
2x₁ + 4x₂ + x₃ = 5
-x₁ - 2x₂ + 3x₃ = -3
这题坑在第二个方程和第一个方程差了个系数2，导致增广矩阵化简后出现0=0的行。很多同学看到0=0就慌，其实这是无穷多解的信号。设x₂=t，解出来x₁ = 3 - 2t，x₃ = 2。注意，x₃是固定的2，不随t变。有学生把自由变量选错了，选了x₃，结果整道题全乱。

第三题考特征值，矩阵B =
[2 1]
[1 2]
这题简单，特征多项式是(2-λ)²-1 = 0，解出λ=1和λ=3。但后面要求特征向量，λ=1时，(B-I)x=0，即
[1 1]
[1 1]
x=0，取x₁=1，x₂=-1，所以特征向量是(1,-1)^T。λ=3时，(B-3I)x=0，得到(1,1)^T。这题丢分的人不多，但有个同学把λ=1的特征向量写成(1,1)，那明显不对，代进去B*(1,1)=(3,3)，不等于1*(1,1)。

最后一道证明题，让证若A²=A，则A的特征值只能是0或1。这题思路其实一句话：设λ是特征值，对应特征向量x，则Ax=λx，两边左乘A得A²x = A(λx) = λAx = λ²x。又因为A²=A，所以A²x = Ax = λx。于是λ²x = λx，即(λ²-λ)x=0。特征向量非零，所以λ²-λ=0，λ=0或1。这题全班只有一个人用了反证法，结果绕远了，还差点漏掉λ=0的情况。

说句实话，这卷子难度中等偏下，但平均分只有72。我看错题集，发现大量分丢在“会做但算错”上。比如第二题增广矩阵化简，有人把第三行写成0 0 0 | 0，实际应该是0 0 0 | 0没错，但前面第二行的系数抄错一个负号，整个解就变了。线代这东西，概念清楚比刷题重要。行列式别死记硬背展开公式，理解它是“体积缩放因子”就忘不了。矩阵乘法不满足交换律，但结合律满足，做题时多写一步，别跳步，跳一步错三步，这是改卷子改出来的血泪教训。